미분계수와 극한

함수 $f ( x ) = x ^{3} + ax + b$에 대하여 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + a$ 또한 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h )}{h} = 5$에서 $h \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} f ( 1 + h ) = 0$이므로 $f ( 1 ) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h )}{h}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$$= f' ( 1 ) = 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $1 + a + b = 0$, $3 + a = 5$ 이 두 식을 연립하면 $a = 2$, $b = \mathit{-} 3$ $\therefore$$ab = \mathit{-} 6$