미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

미분계수와 극한

문제

$x = a$ 에서 함수 $f ( x )$ 의 미분계수는 $2$ 이다. 미분가능한 함수 $g ( x )$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( a + 2 h ) - f ( a ) - g ( h )}{h} = 0$ 이 성립할 때, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g ( h )}{h}$ 의 값은? [1.5점] ① $4$ ② $2$ ③ $0$ ④ $- 2$ ⑤ $- 4$

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①

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해설

$f' ( a ) = 2$ $\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + 2 h ) - f ( a ) - g ( h )}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h\rightarrow 0} \left\{ \frac{f ( a + 2 h ) - f ( a )}{2 h} \times 2 - \frac{g ( h )}{h} \right\}$ $\displaystyle = 2 f' ( a ) - \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{g ( h )}{h}$ $\displaystyle = 2 \times 2 - \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{g ( h )}{h}$ $= 0$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{g ( h )}{h} = 4$

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