미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분계수 정의 보기

문제

함수 f(x)f ( x )에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}} = 0이면 lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} f ( x ) = f ( 1 )이다. ㄴ. lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}} = 0이면 lim⁡h→0f(1+h)−f(1−h)2h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 - h )}{2 h}} = 0이다. ㄷ. f(x)=∣x−1∣f ( x ) = | x - 1 |일 때, lim⁡h→0f(1+h)−f(1−h)2h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 - h )}{2 h}} = 0이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=f′(1)=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = f' ( 1 ) = 0 이므로 f(x)f ( x )는 x=1x = 1에서 미분가능이고 연속이다. ∴lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \therefore \lim\limits _{x \rightarrow 1} f ( x ) = f ( 1 ) ∴\therefore 참 ㄴ. lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = 0이면 lim⁡h→0f(1−h)−f(1)−h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 - h ) - f ( 1 )}{- h} = 0이다. ∴lim⁡h→0f(1+h)−f(1−h)2h\displaystyle \therefore \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 - h )}{2 h} =lim⁡h→0(f(1+h)−f(1)2h+f(1−h)−f(1)−2h)\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \left( \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{2 h} + \frac{f ( 1 - h ) - f ( 1 )}{- 2 h} \right) =0= 0 ∴\therefore 참 ㄷ. f(x)=∣x−1∣f ( x ) = | x - 1 |일 때 lim⁡h→0f(1+h)−f(1−h)2h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 - h )}{2 h}=lim⁡h→0∣h∣−∣−h∣2h=0\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{| h | - | - h |}{2 h} = 0 ∴\therefore 참 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

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#미분계수#연속#보기

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