미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

미분계수 극한식

문제

함수 f(x)f \left( x \right)=x34x2+ax+6= x ^{3} - 4 x ^{2} + ax + 6에 대하여 limh0f(2+h)f(2)h×f(h)\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 2 + h \right) - f \left( 2 \right)}{h \times f \left( h \right)}=1= 1 일 때, 상수 aa의 값은? [3점] 224466881010

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해설

limh0f(2+h)f(2)h×f(h)\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h \times f ( h )} =limh0f(2+h)f(2)h×1f(h)\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f \left( 2 + h \right) - f \left( 2 \right)}{h}} \times \frac{1}{f \left( h \right)} =f(2)×1f(0)\displaystyle = f {'} \left( 2 \right) \times \frac{1}{f \left( 0 \right)}=1= 1 f(2)=f(0)=6f {'} \left( 2 \right) = f \left( 0 \right) = 6이므로 f(x)=3x28x+af {'} \left( x \right) = 3 x ^{2} - 8 x + a에서 f(2)=4+a=6f {'} \left( 2 \right) = - 4 + a = 6 \therefore a=10a = 10

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