미분가능성 보기

[출제의도] 주어진 함수와 도함수를 이용하여 함수의 극한값을 구한다. 함수 $f ( x )$는 $x = - 1$과 $x = 0$에서만 불연속이고, $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{2} ( 3 x ^{2} - 3 )$ (단, $x \ne - 1 , x \ne 0$) 따라서 도함수 $f' ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 불연속이므로 $x = 0$에서 미분가능하지 않다. ㄴ. 함수 $y = f' ( x )$의 그래프에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} f' ( x ) = - \frac{3}{2}$ ㄷ. $f' ( x ) = t$라 하면 $x \rightarrow - 1 + 0$일 때 $t \rightarrow - 0$이다. ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1+0} f ( f' ( x ) ) =$$\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow -0} f ( t )$$= - 1$ 따라서 옳은 것은 ㄴ이다.