미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분가능성 보기

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)f ( x )에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] [보 기] ㄱ. 모든 실수 xx에 대하여 f(−x)=−f(x)f ( - x ) = - f ( x )일 때, f(x)f ( x )가 미분가능하면 f′(−x)=f′(x)f' ( - x ) = f' ( x )이다. ㄴ. 임의의 실수 xx에 대하여 ∣f(x)∣≤Mx2\left| f ( x ) \right| \leq M x ^{2}이면 f′(0)=0f' ( 0 ) = 0이다. (단, MM은 양의 상수이다.) ㄷ. lim⁡h→0f(c+h)+f(c−h)−2f(c)h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f ( c + h ) + f ( c - h ) - 2 f ( c )}{h} = 0이면 f(x)f ( x )는 x=cx = c에서 미분가능하다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0−f(−x−h)+f(−x)h\displaystyle f' ( x ) = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}} = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{- f ( - x - h ) + f ( - x )}{h}} =lim⁡h→0f(−x−h)−f(−x)−h=f′(−x)\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( - x - h ) - f ( - x )}{- h}} = f' ( - x ) ∴\therefore참 ㄴ. ∣f(0)∣≤M∙02=0\left| f ( 0 ) \right| \leq M \bullet 0 ^{2} = 0에서 f(0)=0f ( 0 ) = 0이다. 따라서 ∣f′(0)∣=lim⁡h→0∣f(h)−f(0)h∣=lim⁡h→0∣f(h)h∣\displaystyle \left| f' ( 0 ) \right| = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\left| \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} \right| = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\left| \frac{f ( h )}{h} \right|}} ≤lim⁡h→0Mh2∣h∣=lim⁡h→0M∣h∣=0\displaystyle \leq \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{Mh ^{2}}{\left| h \right|} =} \lim\limits _{h \rightarrow 0} {M \left| h \right| = 0} ∴f′(0)=0\therefore f' ( 0 ) = 0 ∴\therefore참 ㄷ. (반례) f(x)={x+10(x>0)(x=0)x−1(x<0)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \begin{matrix} x + 1 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} ( x > 0 ) \\ ( x = 0 ) \end{matrix} \\ x - 1 & ( x < 0 ) \end{cases}} 는 lim⁡h→0{f(0+h)+f(0−h)−2f(0)h}=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\left\{ \frac{f ( 0 + h ) + f ( 0 - h ) - 2 f ( 0 )}{h} \right\} = 0} 이지만 x=0x = 0에서 불연속이므로 미분가능하지 않다. ∴\therefore거짓

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