미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분가능성

문제

두 상수 aa, bb에 대하여 함수 f(x)={2x2+ax+b(x<2)5ax−12(x≥2)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 2 x ^{2} + ax + b & ( x < 2 ) \\ & \\ 5 ax - 12 & ( x \geq 2 ) \end{cases}} 가 x=2x = 2에서 미분가능할 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기 (i) 함수 f(x)f ( x )가 x=2x = 2에서 미분가능하므로 x=2x = 2에서 연속이다. lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2−f(x)=f(2)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {f ( x ) = f ( 2 )}}이므로 10a−12=8+2a+b10 a - 12 = 8 + 2 a + b 즉 8a−b=208 a - b = 20 (ii) 함수 f(x)f ( x )가 x=2x = 2에서 미분가능하므로 미분계수 f′(2)f' ( 2 )가 존재한다. lim⁡h→0−f(2+h)−f(2)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {} \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} =lim⁡h→0−{2(2+h)2+a(2+h)+b}−(10a−12)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{\left\{ 2 ( 2 + h ) ^{2} + a ( 2 + h ) + b \right\} - ( 10 a - 12 )}{h}}=8+a= 8 + a lim⁡h→0+f(2+h)−f(2)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} =lim⁡h→0+{5a(2+h)−12}−(10a−12)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{\left\{ 5 a ( 2 + h ) - 12 \right\} - ( 10 a - 12 )}{h}}=5a= 5 a lim⁡h→0−f(2+h)−f(2)h=lim⁡h→0+f(2+h)−f(2)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {} \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} 이므로 8+a=5a8 + a = 5 a, 즉 a=2a = 2, b=−4b = - 4 따라서 a2+b2=20a ^{2} + b ^{2} = 20

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