미분가능한 구간별 함수

함수 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} + \ln \left( 1 + x ^{2} \right) + a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 를 $x$에 대하여 미분하면 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = x ^{2} - 2 x + \frac{2 x}{1 + x ^{2}}$$\displaystyle = \frac{x ^{2} \left( x - 1 \right) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 1$ 함수 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} f \left( x \right) & \left( x \geq b \right) \\ - f \left( x - c \right) & \left( x < b \right) \end{cases}$ 에서 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} f' \left( x \right) & \left( x > b \right) \\ - f' \left( x - c \right) & \left( x < b \right) \end{cases}$ ㉡에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \geq 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$가 모든 실수에서 미분가능하려면 $x = b$에서 함수 $f \left( x \right)$와 $- f \left( x - c \right)$가 만나야 하고, 그 점에서 미분계수가 모두 $0$으로 같아야 한다. $f' \left( b \right) = 0$에서 $b > 0$이므로 $b = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $- f' \left( 1 - c \right) = 0$이고 $c > 0$이므로 $c = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = b$에서 연속이므로 $f \left( b \right) = - f \left( b - c \right)$, $f \left( 1 \right) = - f \left( 0 \right)$ $\displaystyle \frac{1}{3} - 1 + \ln 2 + a = - a$, $\displaystyle a = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \ln 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉤ 따라서 ㉢, ㉣, ㉤에서 $\displaystyle a + b + c = \frac{7}{3} - \frac{1}{2} \ln 2$ 이므로 $\displaystyle p = \frac{7}{3}$, $\displaystyle q = - \frac{1}{2}$ $\therefore$ $30 \left( p + q \right)$$\displaystyle = 30 \times \frac{11}{6}$ $= 55$