미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분가능 필요충분조건

문제

모든 실수 xx에서 정의된 함수 f(x)f ( x )가 x=ax = a에서 미분가능하기 위한 필요충분조건인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점] ㄱ. lim⁡h→0f(a+h2)−f(a)h2\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{2} ) - f ( a )}{h ^{2}}의 값이 존재한다. ㄴ. lim⁡h→0f(a+h3)−f(a)h3\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{3} ) - f ( a )}{h ^{3}}의 값이 존재한다. ㄷ. lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)2h\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a - h )}{2 h}의 값이 존재한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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②

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해설

함수 f(x)f ( x )가 x=ax = a에서 미분가능한 경우 lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = f' ( a )이 성립한다. 즉, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}이 존재하고 그 값이 f′(a)f' ( a )이다. 따라서 f′(a)f' ( a )가 존재하는 경우 lim⁡h→0f(a+h2)−f(a)h2\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{2} ) - f ( a )}{h ^{2}}=lim⁡t→0+f(a+t)−f(a)t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{f ( a + t ) - f ( a )}{t}=f′(a)= f' ( a ) lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)2h\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a - h )}{2 h}=lim⁡h→012{f(a+h)−f(h)h+f(a−h)−f(h)−h}\displaystyle = \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{1}{2} \left\{ \frac{f ( a + h ) - f ( h )}{h} + \frac{f ( a - h ) - f ( h )}{- h} \right\} =12{f′(a)+f′(a)}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ f' ( a ) + f' ( a ) \right\} =f′(a)= f' ( a ) lim⁡h→0f(a+h3)−f(a)h3\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{3} ) - f ( a )}{h ^{3}}=lim⁡t→0f(a+t)−f(a)t\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 0} \frac{f ( a + t ) - f ( a )}{t}=f′(a)= f' ( a ) 로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 성립한다. 하지만 f(x)=∣x−a∣f ( x ) = | x - a |인 경우 x=ax = a에서 미분불가능하지만 lim⁡h→0f(a+h2)−f(a)h2\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{2} ) - f ( a )}{h ^{2}}=lim⁡h→0∣h2∣h2=1\displaystyle = \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{| h ^{2} |}{h ^{2}} = 1 lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)2h\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a - h )}{2 h}=lim⁡h→0∣h∣−∣−h∣h\displaystyle = \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{| h | - | - h |}{h}=0= 0 이다. 따라서 ㄱ, ㄷ은 함수 f(x)f ( x )가 x=ax = a에서 미분가능하기 위한 필요조건이다. 또한, h3=th ^{3} = t라 하면 h→0+h \rightarrow 0 +일 때, h3→0+h ^{3} \rightarrow 0 +이므로 t→0+t \rightarrow 0 +이고 h→0−h \rightarrow 0 -일 때, h3→0−h ^{3} \rightarrow 0 -이므로 t→0−t \rightarrow 0 -이다. 따라서 lim⁡h→0f(a+h3)−f(a)h3\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{3} ) - f ( a )}{h ^{3}}=lim⁡t→0f(a+t)−f(a)t\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 0} \frac{f ( a + t ) - f ( a )}{t}이므로 lim⁡h→0f(a+h3)−f(a)h3\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ^{3} ) - f ( a )}{h ^{3}}의 값이 존재하면 lim⁡t→0f(a+t)−f(a)t\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow 0} \frac{f ( a + t ) - f ( a )}{t} 즉, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}의 값이 존재한다. 따라서 ㄴ은 f(x)f ( x )가 x=ax = a에서 미분가능하기 위한 필요충분조건이다.

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