미분가능 조건을 만족하는 조각함수의 정적분

함수 $f ( x )$, $g ( x )$가 모든 실수에서 미분가능하므로 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} 3 a x ^{2} + 2 bx + c & ( x < 1 ) \\ 3 p ( x - 2 ) ^{2} + 2 q ( x - 2 ) + r & ( x \geq 1 ) \end{cases}$ $\displaystyle g' ( x ) = \begin{cases} 6 a x + 2 b & ( x < 1 ) \\ 6 p ( x - 2 ) + 2 q & ( x \geq 1 ) \end{cases}$ 함수 $f ( x )$가 $x = 1$에서 연속일 조건으로부터 $a + b + c + 1 = 1$, $- p + q - r + 5 = 1$ ∴ $a + b + c = 0$ ⋯⋯ ㉠, $p - q + r = 4$ ⋯⋯ ㉡ 함수 $f ( x )$가 $x = 1$에서 미분가능할 조건으로부터 $3 a + 2 b + c = 3 p - 2 q + r$ ⋯⋯ ㉢ 함수 $g ( x )$가 $x = 1$에서 미분가능할 조건으로부터 $6 a + 2 b = - 6 p + 2 q$ ⋯⋯ ㉣ $g' ( 0 ) = g' ( 2 ) = 0$인 조건으로부터 $2 b = 2 q = 0$ ∴ $b = q = 0$ ⋯⋯ ㉤ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤에서 $a = 1$, $b = 0$, $c = - 1$ $p = - 1$, $q = 0$, $r = 5$ ∴ $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} ( x ^{3} - x + 1 ) dx$$\displaystyle = \left[ \frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2} + x \right] _{0} ^{1}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$