미분가능 조건 상수

[출제의도] 지수함수의 미분을 활용하여 추론하기 함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체에서 미분가능하므로 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체에서 연속이다. $y = g \left( x \right)$가 $x = b$에서 연속이므로 $g \left( b \right) = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {g \left( x \right)} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b +} {g \left( x \right)} = f \left( b \right) - a$ $\therefore$ $f \left( b \right) - a = 0$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = b$에서 미분가능하므로 $\displaystyle g' \left( b \right) = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h}} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h}}$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h}} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{\left\{ f \left( b + h \right) - a \right\} - 0}{h}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( b + h \right) - f \left( b \right)}{h}}$ $= f' \left( b \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( b + h \right) - g \left( b \right)}{h}} = 0$ $\therefore$ $f' \left( b \right) = 0$ $f' \left( x \right) = e ^{- 2 x + 1} - 2 xe ^{- 2 x + 1} = \left( 1 - 2 x \right) e ^{- 2 x + 1}$이므로 $f' \left( b \right) = \left( 1 - 2 b \right) e ^{- 2 b + 1} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ $\displaystyle f \left( b \right) = f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle ab = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$