미분가능 조건 함수

[출제의도] 합성함수 미분법을 이용하여 함수를 추론한다. 함수 $f ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $x = 0$에서 연속이다. 조건 (가)에서 $\displaystyle f ( 0 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left( axe ^{2 x} + bx ^{2} \right) = 0}}$ 조건 (나)에서 임의의 $x _{1}$($x _{1} < 0$)에 대하여 $\displaystyle f' \left( x _{1} \right) = \lim\limits _{x \rightarrow x _{1}} {\frac{f \left( x \right) - f \left( x _{1} \right)}{x - x _{1}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow x _{1}} {3}$$= 3$ 이므로 $x < 0$일 때 $f' ( x ) = 3$이고 $\displaystyle f ( x ) = \int _{} ^{} {3} dx$$= 3 x + C$ ($C$는 적분상수) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {f ( x ) = C = f ( 0 ) = 0}$이므로 $x < 0$일 때 $f ( x ) = 3 x$ 함수 $f ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{axe ^{2 x} + bx ^{2}}{x}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left( ae ^{2 x} + bx \right)}$$= a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{3 x}{x} = 3}$ 이므로 $a = 3$이다. $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3 e}{2} + \frac{b}{4} = 2 e$에서 $b = \mathit{2} e$이므로 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 3 x & ( x \leq 0 ) _{} \\ 3 xe ^{2 x} + 2 ex ^{2 ^{}} & ( x > 0 ) ^{} \end{cases}}$이고 $\displaystyle f' ( x ) = {\begin{cases} 3 & ( x \leq 0 ) _{} \\ 3 e ^{2 x} + 6 xe ^{2 x} + 4 ex & ( x > 0 ) ^{} \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right)$$= 3 e + 3 e + 2 e$$= 8 e$