미분가능 조건

함수 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} x ^{3} + ax ^{2} + bx ( x \geq 1 ) \\ 2 x ^{2} + 1 ( x < 1 ) \end{cases}$이 모든 실수 $x$에서 미분가능하려면 $x = 1$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f ( x ) = f ( 1 )$ 즉, $2 + 1 = 1 + a + b$ ∴ $a + b = 2$$\cdots \cdots$㉠ $x = 1$에서 미분계수가 존재해야 하므로 $\displaystyle f' ( x ) = \begin{cases} 3 x ^{2} + 2 ax + b ( x > 1 ) \\ 4 x ( x < 1 ) \end{cases}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f' ( x )$이어야 한다. 즉, $3 + 2 a + b = 4$ ∴ $2 a + b = 1$$\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a = - 1$, $b = 3$ ∴ $ab = - 3$