미분방정식 꼴 적분

[출제의도] 치환적분법을 이해하여 함수의 값을 구한다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \{ f ( x ) \} ^{2} f' ( x ) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$의 양변을 각각 $x$에 대하여 적분하면 $\displaystyle \int _{} ^{} {} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} f' ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} dx$ $f ( x ) = t$라 할 때 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{dt}{dx}$이므로 $\displaystyle \int _{} ^{} {} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} f' ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} t ^{2} dt$$\displaystyle = \frac{1}{3} t ^{3} + C _{1}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ f ( x ) \right\} ^{3} + C _{1}$ ($C _{1}$은 적분상수) $\displaystyle \int _{} ^{} {} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} dx$$= \ln ( x ^{2} + 1 ) + C _{2}$ ($C _{2}$는 적분상수) 그러므로 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{3} = 3 \ln ( x ^{2} + 1 ) + C$ ($C$는 적분상수) 조건 (나)에서 $f ( 0 ) = 0$ 이므로 $C = 0$ 따라서 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{3} = 3 \ln ( x ^{2} + 1 )$ 이므로 $\left\{ f ( 1 ) \right\} ^{3} = 3 \ln 2$