미분방정식 함수 보기

ㄱ. (가), (나)에 의하여 $f \left( x \right) = - f \left( - x \right)$ 이고 $f ( - x ) \ne 1$이므로 $- f ( - x ) \ne - 1$ 이다. ∴ $f \left( x \right) \ne - 1$ ∴참 ㄴ. $f \left( x \right)$는 전 구간에서 미분 가능하고 연속인 원점 대칭 함수이므로 반드시 원점을 지나야 한다. 또한 $f ( x ) \ne 1$, $f ( x ) \ne - 1$ 이기 위해 $f ( x )$은 $- 1$과 $1$ 사이여야 한다. ∴ $- 1 < f \left( x \right) < 1$ (다)에서 $f' \left( x \right) = \left\{ 1 + f \left( x \right) \right\} \left\{ 1 + f \left( - x \right) \right\}$ $= \left\{ 1 + f \left( x \right) \right\} \left\{ 1 - f \left( x \right) \right\}$ $= 1 - \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}$ ∴ $f' \left( x \right) > 0$ 함수 $f \left( x \right)$는 전 구간에서 증가한다. ∴거짓 ㄷ. $f' \left( x \right) = 1 - \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}$ 양변을 미분하면 $f'' \left( x \right) = - 2 f \left( x \right) f' \left( x \right)$ $\left( 0 , 0 \right)$에서만 이계도함수의 부호가 바뀌므로 변곡점은 오직 하나이다. ∴거짓 따라서 옳은 것은 ㄱ 뿐이다. [다른풀이] ㄷ에서 $f ( x ) = - f ( - x )$ $f' ( x ) = \left( 1 + f ( x ) \right) \left( 1 - f ( x ) \right)$ $\displaystyle \frac{f' ( x )}{\left( 1 + f ( x ) \right) \left( 1 - f ( x ) \right)} = 1$ $\displaystyle \frac{f' ( x )}{\left( f ( x ) + 1 \right) \left( f ( x ) - 1 \right)} = - 1$ $\displaystyle \int \frac{f' ( x )}{f ( x ) - 1} - \frac{f' ( x )}{f ( x ) + 1} dx = \int - 2 dx$ $\ln {\left| f ( x ) - 1 \right|} - \ln {\left| f ( x ) + 1 \right|} = - 2 x + {\mathrm{C}}$ $f ( 0 ) = 0$이므로 $\therefore {\mathrm{C}} = 0$ $\displaystyle - \frac{f ( x ) - 1}{f ( x ) + 1} = e ^{- 2 x}$ $1 - f ( x ) = e ^{- 2 x} f ( x ) + e ^{- 2 x}$ $\left( e ^{- 2 x} + 1 \right) f ( x ) = 1 - e ^{- 2 x}$ $\displaystyle f ( x ) = \frac{1 - e ^{- 2 x}}{1 + e ^{- 2 x}}$