미분 등식과 다항함수

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다. 주어진 등식의 양변에 $x$$= 0$을 대입하면 $f \left( 0 \right)$$= 0$ 다항함수 $f \left( x \right)$의 차수를 $n$이라 하자. (ⅰ) $n \leq 1$일 때, 주어진 등식의 좌변의 차수는 $1$ 이하이고, 우변의 차수는 $2$이므로 등식이 성립하지 않는다. (ⅱ) $n$$= 2$일 때, 주어진 등식의 좌변의 이차항의 계수는 $- 1$이고, 우변의 이차항의 계수는 $2$이므로 등식이 성립하지 않는다. (ⅲ) $n \geq 3$일 때, 주어진 등식의 좌변의 $n$차항의 계수가 $n - 3$이고, 우변의 차수는 $2$이므로 등식이 성립하기 위해서는 $n$$= 3$이어야 한다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $f \left( x \right)$가 삼차함수이므로 $f \left( x \right)$$= x ^{3} + ax ^{2} + bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면 $f' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} + 2 ax + b$이고 $x f' \left( x \right) - 3 f \left( x \right)$$= x \left( 3 x ^{2} + 2 ax + b \right) - 3 \left( x ^{3} + ax ^{2} + bx \right)$$= \mathit{-} ax ^{2} - 2 bx$ 주어진 등식이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 $- a$$= 2$, $- 2 b$$= \mathit{-} 8$에서 $a$$= \mathit{-} 2$, $b$$= 4$이고 $f \left( x \right)$$= x ^{2} - 2 x ^{2} + 4 x$ 따라서 $f \left( 1 \right)$$= 1 - 2 + 4$$= 3$