대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

먼지 제거 시간

문제

어느 작업장에 먼지의 양이 1m31 \mathrm{m} ^{3}당 200μg(1μg=10−6g)200 \mathrm{\mu} g ( 1 \mathrm{\mu} g = 10 ^{-6} \mathrm{g} ) 이 되면 자동으로 가동되기 시작하는 먼지 제거 장치가 있다. 이 장치가 가동되기 시작하고 tt초 후 1m31 \mathrm{m} ^{3}당 먼지의 양 x(t)x ( t )는 x(t)=20+180×3−t256(μg/m3)\displaystyle x ( t ) = 20 + 180 \times 3 ^{- \frac{t}{256}} \mathrm{(} \mu g / m ^{3} ) 이라 한다. 먼지 제거 장치가 가동되기 시작하고 nn초 후 작업장의 1m31 \mathrm{m} ^{3}당 먼지의 양이 50μg50 \mathrm{\mu} g이 되었다고 할 때, nn의 값을 구하시오. (단, log⁡2=0.30\log 2 = 0.30, log⁡3=0.48\log 3 = 0.48로 계산한다.) [4점]

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416

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해설

50=20+180×3−n256\displaystyle 50 = 20 + 180 \times 3 ^{- \frac{n}{256}}이므로 3−n256=16\displaystyle 3 ^{- \frac{n}{256}} = \frac{1}{6} 양변에 상용로그를 취하면 −n256log⁡3=log⁡16=−log⁡2−log⁡3\displaystyle - \frac{n}{256} \log 3 = \log \frac{1}{6} = - \log 2 - \log 3 ∴ n=256(log⁡2+log⁡3)log⁡3\displaystyle n = \frac{256 ( \log 2 + \log 3 )}{\log 3}=256×0.780.48\displaystyle = \frac{256 \times 0.78}{0.48}=416= 416

태그

#상용로그#지수함수#활용

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