대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

메모판 합이 같은 조건

문제

그림과 같이 가로줄 $l _{1}$ , $l _{2}$ , $l _{3}$ 과 세로줄 $l _{4}$ , $l _{5}$ , $l _{6}$ 이 만나는 곳에 있는 $9$ 개의 메모판에 모두 $x$ 에 대한 식이 하나씩 적혀 있고, 그중 $4$ 개의 메모판은 접착 메모지로 가려져 있다. $x = a$ 일 때, 각 줄 $l _{k}$ ( $k = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ )에 있는 $3$ 개의 메모판에 적혀 있는 모든 식의 값의 합을 $S _{k}$ 라 하자. $S _{k}$ ( $k = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ )의 값이 모두 같게 되는 모든 실수 $a$ 의 값의 합은? [4점]

$- 2 ^{x + 1}$ $2 ^{x + 3} - 16$ $- 2 ^{x + 1}$ $2 ^{x + 3} - 16$

① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$

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①

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해설

[출제의도] 지수방정식을 이용하여 추론하기

	$l _{4}$	$l _{5}$	$l _{6}$
$l _{1}$	$4 ^{a}$	$p$	$- 2 ^{a + 1}$	$S _{1}$
$l _{2}$	$q$	$2 ^{a + 3} - 16$	$r$	$S _{2}$
$l _{3}$	$- 2 ^{a + 1}$	$2 ^{a + 3} - 16$	$s$	$S _{3}$
	$S _{4}$	$S _{5}$	$S _{6}$

그림과 같이 빈 칸에 들어갈 수를 각각 $p$ , $q$ , $r$ , $s$ 라 하자. $S _{1} = S _{4}$ 이므로 $q = p$ $S _{3} = S _{6}$ 이므로 $r = 2 ^{a + 3} - 16$ $S _{3} = S _{4}$ 이므로 $s$ $= 4 ^{a} - 2 ^{a + 3} + 16 + p$

	$l _{4}$	$l _{5}$	$l _{6}$
$l _{1}$	$4 ^{a}$	$p$	$- 2 ^{a + 1}$	$S _{1}$
$l _{2}$	$p$	$2 ^{a + 3} - 16$	$2 ^{a + 3} - 16$	$S _{2}$
$l _{3}$	$- 2 ^{a + 1}$	$2 ^{a + 3} - 16$	$4 ^{a} - 2 ^{a + 3} + 16 + p$	$S _{3}$
	$S _{4}$	$S _{5}$	$S _{6}$

$S _{1}$ $= S _{3}$ $= S _{4}$ $= S _{6}$ $= 4 ^{a} - 2 ^{a + 1} + p$ $S _{2}$ $= S _{5}$ $= 2 ^{a + 4} - 32 + p$ 이므로 $4 ^{a} - 2 ^{a + 1} + p = 2 ^{a + 4} - 32 + p$ $\left( 2 ^{a} \right) ^{2} - 18 \times 2 ^{a} + 32 = 0$ $\left( 2 ^{a} - 2 \right) \left( 2 ^{a} - 16 \right) = 0$ $2 ^{a} = 2$ 또는 $2 ^{a} = 16$ $a = 1$ 또는 $a = 4$ 따라서 모든 실수 $a$ 의 값의 합은 $5$

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