대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

마우스 이동 시간 로그

문제

컴퓨터 화면에서 마우스 커서()가 아이콘까지 이동하는 시간을 $T$ (초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의 거리를 $D$ (cm), 마우스 커서가 움직이는 방향으로 측정한 아이콘의 폭을 $W$ (cm)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. (단, $D > 0$ ) $\displaystyle T = a + \frac{1}{10} \mathrm{\log} _{2} \left( \frac{\mathit{D}}{W} + 1 \right)$ (단, $a$ 는 상수)

그림과 같이 컴퓨터 화면에 두 개의 아이콘 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 있다.

현재 마우스 커서의 위치에서 아이콘 $\mathrm{A}$ 의 방향으로 측정한 아이콘 $\mathrm{A}$ 의 폭 $W _{\mathrm{A}}$ 와 아이콘 $\mathrm{B}$ 의 방향으로 측정한 아이콘 $\mathrm{B}$ 의 폭 $W _{\mathrm{B}}$ 는 모두 $1$ cm 로 같다. 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘 $\mathrm{A}$ 의 중심까지의 거리와 아이콘 $\mathrm{B}$ 의 중심까지의 거리를 각각 $D _{\mathrm{A}}$ (cm), $D _{\mathrm{B}}$ (cm)라 할 때, 마우스 커서가 아이콘 $\mathrm{A}$ 까지 이동하는 시간 $T _{\mathrm{A}}$ , 아이콘 $\mathrm{B}$ 까지 이동하는 시간 $T _{\mathrm{B}}$ 는 각각 $0.71$ 초, $0.66$ 초이다. $\displaystyle \frac{D _{\mathrm{A}} + 1}{D _{\mathrm{B}} + 1}$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $\displaystyle \sqrt{2}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ ⑤ $4$

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②

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해설

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 실생활과 관련된 외적 문제를 해결한다. 마우스 커서가 아이콘 $\mathrm{A}$ 까지 이동하는 시간이 $0.71$ 초이므로 $0.71$ $\displaystyle = a + \frac{1}{10} \mathrm{\log} _{2} \left( \mathit{D} _{\mathrm{A}} + 1 \right)$ … ㉠ 마우스 커서가 아이콘 $\mathrm{B}$ 까지 이동하는 시간이 $0.66$ 초이므로 $0.66$ $\displaystyle = a + \frac{1}{10} \mathrm{\log} _{2} \left( \mathit{D} _{\mathrm{B}} + 1 \right)$ … ㉡㉠-㉡에서 $0.05$ $\displaystyle = \frac{1}{10} \log _{2} ( D _{\mathrm{A}} + 1 ) - \frac{1}{10} \log _{2} ( D _{\mathrm{B}} + 1 )$ $\displaystyle = \frac{1}{10} \mathrm{\log} _{2} \frac{\mathit{D _{\mathrm{A}} + 1}}{D _{\mathrm{B}} + 1}$ 즉, $0.5$ $\displaystyle = \mathrm{\log} _{2} \frac{\mathit{D _{\mathrm{A}} + 1}}{D _{\mathrm{B}} + 1}$ 따라서 $\displaystyle \frac{\mathit{D _{\mathrm{A}} + 1}}{D _{\mathrm{B}} + 1}$ $= 2 ^{0.5}$ $\displaystyle = \sqrt{2}$

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