대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

마름모 속 이등변삼각형

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이고 ∠B=120∘\angle \mathrm{B} = 120 ^\circ인 마름모 ABCD\mathrm{ABCD}의 내부에 EF‾=EG‾=2\displaystyle \overline{E F} = \overline{E G} = 2이고 ∠EFG=30∘\angle E F G = 30 ^\circ인 이등변삼각형 EFGEFG가 있다. 점 F\mathrm{F}는 선분 AB\mathrm{AB}위에, 점 G\mathrm{G}는 선분 BC\mathrm{BC}위에 있도록 삼각형 EFGEFG를 움직일 때, ∠BGF=θ\angle \mathrm{B} G F = \theta라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 0∘<θ<60∘0 ^\circ < \theta < 60 ^\circ) [4점]

<보 기>
ㄱ. ∠BFE=90∘−θ\angle \mathrm{B} F E = 90 ^\circ - \theta ㄴ. BF‾=4sin⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{B} F} = 4 \sin \theta ㄷ. 선분 BE\mathrm{BE}의 길이는 항상 일정하다.

①ㄱ②ㄱ，ㄴ③ㄱ，ㄷ④ㄴ，ㄷ⑤ㄱ，ㄴ，ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 변의 길이가 일정함을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. ∠BGF=θ\angle \mathrm{BGF} = \theta 이므로 ∠BFG=60∘−θ\angle \mathrm{BFG} = 60 ^\circ - \theta ∠BFE=∠BFG+∠GFE\angle \mathrm{BFE} = \angle BFG + \angle GFE =(60∘−θ)+30∘=90∘−θ= ( 60 ^\circ - \theta ) + 30 ^\circ = 90 ^\circ - \theta (참)

ㄴ. 삼각형 EFG\mathrm{EFG}에서 FG‾=2EF‾cos⁡30∘=23\displaystyle \overline{\mathrm{FG}} = 2 \overline{\mathrm{EF}} \cos 30 ^\circ = 2 \sqrt{3} 삼각형 BGF\mathrm{BGF}에서 사인법칙을 적용하면 FG‾sin⁡120∘=BF‾sin⁡θ\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{FG}}}{\sin 120 ^\circ} = \frac{\overline{\mathrm{BF}}}{\sin \theta} ∴ BF‾=4sin⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{BF}} = 4 \sin \theta (참) ㄷ. 삼각형 EFB\mathrm{E} FB에서 코사인법칙을 적용하면 BE‾2=BF‾2+EF‾2−2BF‾EF‾cos⁡(90∘−θ)\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} \mathit{\mathrm{^{2}}} = \mathrm{\overline{BF}} \mathit{\mathrm{^{2}}} + \mathrm{\overline{EF}} \mathit{\mathrm{^{2}}} - 2 \mathrm{\overline{BF}} \mathit{} \mathrm{\overline{EF}} \mathit{} \cos ( 90 ^\circ - \theta ) =(4sin⁡θ)2+22−24sin⁡θ2sin⁡θ= ( 4 \sin \theta ) ^{2} + 2 ^{2} - 2 4 \sin \theta 2 \sin \theta=4= 4 따라서 BE‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} = 2로 항상 일정하다. (참)

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