마름모 삼각형 넓이 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 삼각함수로 나타낸 후, 삼각함수의 극한값을 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.

직각삼각형 $\mathrm{AHD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 1$, $\mathrm{\angle} DAH = \angle DAB = \theta$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = \sin \theta$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \overline{DH} = \sin \theta$ 한편, 마름로 $\mathrm{ABCD}$에서 두 선분 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{O}$라 하자.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp \overline{BD}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BO}} \parallel \overline{EF}$이다. 이때, $\mathrm{\angle} OBA = \angle FEA$이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} CEF = \angle BAO = \frac{\theta}{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{CEF}$에서 $\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{\mathrm{\overline{CF}}}{\mathrm{\overline{CE}}}$ $\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{\mathrm{\overline{CF}}}{\sin \theta}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \sin \theta \sin \frac{\theta}{2}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BC}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} BCA = \angle BAC = \frac{\theta}{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{CFG}$에서 $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} \frac{= \mathrm{\overline{FG}}}{\overline{CF}}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FG}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{CF}} \times \tan \frac{\theta}{2}$$\displaystyle = \sin \theta \sin \frac{\theta}{2} \tan \frac{\theta}{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{CFG}$의 넓이 $S \left( \theta \right)$는 $S \left( \theta \right)$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times {\overline{CF}} \times {\overline{FG}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sin \theta \sin \frac{\theta}{2} \times \sin \theta \sin \frac{\theta}{2} \tan \frac{\theta}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \tan \frac{\theta}{2}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{5}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\sin ^{2} \theta \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \tan \frac{\theta}{2}}{2 \theta ^{5}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{16} \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left\{ \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2} \times \left( \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \right) ^{2} \times \frac{\tan \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \right\}}$ $\displaystyle = \frac{1}{16} \times 1 ^{2} \times 1 ^{2} \times 1$ $\displaystyle = \frac{1}{16}$