미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

마름모 도형 급수

문제

그림과 같이 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}=2= 2, BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}=4= 4이고 ∠ABC=60∘\mathrm{\angle} ABC = 60 ^\circ인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 사각형 D1BE1F1\mathrm{D} _{1} BE _{1} F _{1}이 마름모가 되도록 세 선분 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}, CA\mathrm{CA} 위에 각각 점 D1\mathrm{D} _{1}, E1\mathrm{E} _{1}, F1\mathrm{F} _{1}을 잡고, 마름모 D1BE1F1\mathrm{D} _{1} BE _{1} F _{1}의 내부와 중심이 B\mathrm{B}인 부채꼴 BE1D1\mathrm{BE} _{1} D _{1}의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 사각형 D2E1E2F2\mathrm{D} _{2} E _{1} E _{2} F _{2}가 마름모가 되도록 세 선분 F1E1\mathrm{F} _{1} E _{1}, E1C\mathrm{E} _{1} C, CF1\mathrm{CF} _{1} 위에 각각 점 D2\mathrm{D} _{2}, E2\mathrm{E} _{2}, F2\mathrm{F} _{2}를 잡고, 마름모 D2E1E2F2\mathrm{D} _{2} E _{1} E _{2} F _{2}의 내부와 중심이 E1\mathrm{E} _{1}인 부채꼴 E1E2D2\mathrm{E} _{1} E _{2} D _{2}의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

R1R _{1}
R2R _{2}
⋮\mathbf{\vdots}⋮\mathbf{\vdots}

①4(33−π)15\displaystyle \frac{4 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{15}②4(33−π)9\displaystyle \frac{4 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{9}③8(33−π)15\displaystyle \frac{8 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{15}④2(33−π)3\displaystyle \frac{2 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{3}⑤8(33−π)9\displaystyle \frac{8 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{9}

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③

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다. 그림 RnR _{n}에서 새로 색칠된 도형의 넓이를 ana _{n}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 삼각형 F1E1C\mathrm{F} _{1} E _{1} C가 닮음이므로 AB‾:F1E1‾=BC‾:E1C‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{F _{1} E _{1}}} = {\overline{BC}} : {\overline{E _{1} C}} 마름모 D1BE1F1\mathrm{D} _{1} BE _{1} F _{1}의 한 변의 길이를 xx라 하면 2:x=4:(4−x)2 : x = 4 : \left( 4 - x \right)이므로 x=43\displaystyle x = \frac{4}{3} 그림 R1R _{1}에서 색칠된 부분의 넓이는 마름모 D1BE1F1\mathrm{D} _{1} BE _{1} F _{1}의 넓이에서 부채꼴 BE1D1\mathrm{B} E _{1} D _{1}의 넓이를 뺀 값이므로 a1a _{1}=43×43sin⁡60∘−π×(43)2×60∘360∘\displaystyle = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} \sin 60 ^\circ - \pi \times \left( \frac{4}{3} \right) ^{2} \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ}=8(33−π)27\displaystyle = \frac{8 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{27} 그림 R2R _{2}에서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 삼각형 F1E1C\mathrm{F} _{1} E _{1} C의 닮음비는 1:23\displaystyle 1 : \frac{2}{3}이므로 모든 자연수 nn에 대하여 an+1=49an\displaystyle a _{n+1} = \frac{4}{9} a _{n}이 성립한다. 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 8(33−π)27\displaystyle \frac{8 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{27}이고, 공비가 49\displaystyle \frac{4}{9}인 등비수열이므로 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}=∑n=1∞an\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}=8(33−π)271−49\displaystyle = \frac{\frac{8 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{27}}{1 - \frac{4}{9}}=8(33−π)15\displaystyle = \frac{8 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{15}

태그

#등비급수#도형

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