미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

망원급수의 합

문제

무한급수 (32−43)+(43−54)+(54−65)+⋯\displaystyle \left( \frac{3}{2} - \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{4}{3} - \frac{5}{4} \right) + \left( \frac{5}{4} - \frac{6}{5} \right) + \cdots의 합은? [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④11⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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③

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해설

부분합Sn=∑k=1n(n+2n+1−n+3n+2)=32−n+3n+2\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \left( \frac{n + 2}{n + 1} - \frac{n + 3}{n + 2} \right) = \frac{3}{2} - \frac{n + 3}{n + 2} lim⁡n→∞Sn=12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{1}{2}이다.

태그

#무한급수#부분합

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