매개변수 미분 최댓값

$\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t}} = t ^{- \frac{1}{2}}$, $\displaystyle y = \left( t - a \right) \sqrt{t} = t ^{\frac{3}{2}} - at ^{\frac{1}{2}}$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = - \frac{1}{2} t ^{- \frac{3}{2}}$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{3}{2} t ^{\frac{1}{2}} - \frac{a}{2} t ^{- \frac{1}{2}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{3}{2} t ^{\frac{1}{2}} - \frac{a}{2} t ^{- \frac{1}{2}}}{- \frac{1}{2} t ^{- \frac{3}{2}}}$ $= - 3 t ^{2} + at$ $\displaystyle = - 3 \left( t - \frac{a}{6} \right) ^{2} + \frac{a ^{2}}{12}$ $\displaystyle f \left( t \right) = - 3 \left( t - \frac{a}{6} \right) ^{2} + \frac{a ^{2}}{12}$이라 하면 $a > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $f \left( t \right)$의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 $t > 0$일 때 함수 $f \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \frac{a}{6}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{12}$을 가지므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$의 최댓값이 $\displaystyle \frac{3}{2}$이 되려면 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{12} = \frac{3}{2}$, $a ^{2} = 18$ $\therefore$ $\displaystyle a = 3 \sqrt{2} \left( \because a > 0 \right)$