매개변수 접선

[출제의도] 이해능력-평면곡선 $x = e ^{t} - e ^{- t}$, $y = e ^{t} - 3 e ^{- t}$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = e ^{t} + e ^{- t}$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = e ^{t} + 3 e ^{- t}$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{e ^{t} + 3 e ^{- t}}{e ^{t} + e ^{- t}}$ $\displaystyle \frac{e ^{t} + 3 e ^{- t}}{e ^{t} + e ^{- t}} = \frac{6}{5}$에서 $\displaystyle \frac{e ^{2 t} + 3}{e ^{2 t} + 1} = \frac{6}{5}$ $5 ( e ^{2 t} + 3 ) = 6 ( e ^{2 t} + 1 )$, $e ^{2 t} = 9$, $e ^{t} = 3$ 따라서 $t = \ln 3$ 이때, $\displaystyle a = e ^{\ln 3} - e ^{- \ln 3} = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$ $b = e ^{\ln 3} - 3 e ^{- \ln 3} = 3 - 1 = 2$ 이므로 접점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{8}{3} , 2 \right)$ 따라서 $\displaystyle 30 ( a + b ) = 30 \left( \frac{8}{3} + 2 \right) = 30 \times \frac{14}{3} = 140$