미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

매개변수 함수 최솟값

문제

자연수 nn에 대하여 함수 y=f(x)y = f ( x )를 매개변수 tt로 나타내면 {x=ety=(2t2+nt+n)et\displaystyle \begin{cases} & x = e ^{t} \\ & y = \left( 2 t ^{2} + nt + n \right) e ^{t} \end{cases} 이고, x≥e−n2\displaystyle x \geq e ^{- \frac{n}{2}}일 때 함수 y=f(x)y = f ( x )는 x=anx = a _{n}에서 최솟값 bnb _{n}을 갖는다. b3a3+b4a4+b5a5+b6a6\displaystyle \frac{b _{3}}{a _{3}} + \frac{b _{4}}{a _{4}} + \frac{b _{5}}{a _{5}} + \frac{b _{6}}{a _{6}}의 값은? [4점]

①232\displaystyle \frac{23}{2}②1212③252\displaystyle \frac{25}{2}④1313⑤272\displaystyle \frac{27}{2}

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②

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해설

y′=et{2t2+(n+4)t+2n}y' = e ^{t} \left\{ 2 t ^{2} + ( n + 4 ) t + 2 n \right\} n=3n = 3에서부터 n=6n = 6일 때 y′=0y' = 0인 경우를 찾으면 n=3n = 3일 때 t=−2,−32\displaystyle t = - 2 , - \frac{3}{2} n=4n = 4일 때 t=−2t = - 2(중근) n=5n = 5일 때 t=−2,−52\displaystyle t = - 2 , - \frac{5}{2} n=6n = 6일 때 t=−2,−3t = - 2 , - 3 g(t)=2t2+(n+4)t+2ng ( t ) = 2 t ^{2} + ( n + 4 ) t + 2 n이라고 하면 그래프와 t축의 교점 중 큰 값이 y=f(x)y = f ( x )의 최솟값의 x좌표가 된다. dydt=0\displaystyle \frac{dy}{dt} = 0가 되는 tt에 의해 결정되는 xx의 값이 dydx=0\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0가 되는 xx이므로 bnan=yx\displaystyle \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{y}{x}에서 yx=2t2+nt+n\displaystyle \frac{y}{x} = 2 t ^{2} + nt + n n=3n = 3일 때 t=−32\displaystyle t = - \frac{3}{2}, n=4n = 4일 때 t=−2t = - 2, n=5n = 5일 때 t=−2t = - 2, n=6n = 6일 때 t=−2t = - 2를 대입하여 계산해주면, ∴3+4+3+2=123 + 4 + 3 + 2 = 12

태그

#매개변수 미분#최솟값

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