미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

매개변수 곡선 접선

문제

[11~12] 좌표평면에서 매개변수 θ{\theta}로 나타내어진 곡선 x=2cos⁡θ+cos⁡2θ{x = 2 \cos \theta + \cos 2 \theta}, y=2sin⁡θ+sin⁡2θ{y = 2 \sin \theta + \sin 2 \theta}

에 대하여 1111번과 1212번의 두 물음에 답하시오. (단, θ{\theta}는 실수이다.)

θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}에 대응하는 이 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는? [3점] ①−2- 2②−3\displaystyle - \sqrt{3}③−1- 1④−32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}⑤−12\displaystyle - \frac{1}{2}

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③

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해설

dxdθ\displaystyle \frac{dx}{d \theta}=−2sin⁡θ−2sin⁡2θ= - 2 \sin \theta - 2 \sin 2 \theta, dydθ\displaystyle \frac{dy}{d \theta}=2cos⁡θ+2cos⁡2θ= 2 \cos \theta + 2 \cos 2 \theta ∴ dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=dydθdxdθ\displaystyle = \frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dx}{d \theta}}=−cos⁡θ+cos⁡2θsin⁡θ+sin⁡2θ\displaystyle = - \frac{\cos \theta + \cos 2 \theta}{\sin \theta + \sin 2 \theta} 따라서 θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}에 대응하는 이 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}==−cos⁡π6+cos⁡π3sin⁡π6+sin⁡π3\displaystyle - \frac{\cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3}}=−1= - 1

태그

#매개변수 미분#접선

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