매개변수 곡선 접선

$x = \cos t + t \sin t$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = t \cos t$ $y = \sin t - t \cos t$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dt} = t \sin t$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{t \sin t}{t \cos t} = \tan t$ $t = k$일 때, 곡선 위의 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선의 기울기는 $\tan k$이므로 곡선 위의 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기는 $k$이다. 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \left| \tan \left( k - \alpha \right) \right| = \tan \theta = \frac{1}{2}$에서 $\left| \tan \left( k - \alpha \right) \right|$$\displaystyle = \left| \frac{\tan k - \tan \alpha}{1 + \tan k \times \tan \alpha} \right|$ $\displaystyle = \left| \frac{\tan k - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} \times \tan k} \right| = \frac{1}{2}$이므로 $\tan k = 0$ 또는 $\displaystyle \tan k = \frac{4}{3}$ $\displaystyle 0 < k < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \tan k = \frac{4}{3}$ $\displaystyle \sin k = \frac{4}{5}$, $\displaystyle \cos k = \frac{3}{5}$ $\displaystyle a = \cos k + k \sin k = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} k$ $\displaystyle b = \sin k - k \cos k = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} k$ 따라서 $3 a + 4 b + \tan k$$\displaystyle = \frac{9}{5} + \frac{12}{5} k + \frac{16}{5} - \frac{12}{5} k + \frac{4}{3}$$\displaystyle = \frac{19}{3}$