공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

m²-n²=2001을 만족하는 m-n의 최댓값

문제

m2−n2=2001m ^{2} - n ^{2} = 2001일 때, m−nm - n의 최댓값은? (단, m,nm , n은 자연수)

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해설

m,nm , n을 자연수라 가정하면 (m+n)(m−n)=2001( m + n ) ( m - n ) = 2001=3⋅23⋅29= 3 \cdot 23 \cdot 29 이므로 m−nm - n이 최대가 되기 위해서는 m+nm + n이 가능한 작은 값을 가질 때이다. 1) m+n=1m + n = 1인 경우 : m,nm , n이 자연수이므로 가질 수 없다. 2) m+n=23m + n = 23인 경우 : m−n=3⋅29=87m - n = 3 \cdot 29 = 87 m+n>m−nm + n > m - n이어야 하므로 만족하는 자연수 해는 없다. 3) m+n=29m + n = 29인 경우 : 2)의 경우와 같다. 4) m+n=69m + n = 69인 경우 : m−n=29m - n = 29 두 조건을 만족하는 해는 m=49,n=20m = 49 , n = 20이다. 따라서, 조건을 만족하는 m−nm - n의 최댓값은 2929이다.

태그

#인수분해#자연수 조건

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