대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

log n! 수열 보기

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}을 모든 자연수 nn에 대하여 an=log⁡2(n!)a _{n} = \log _{2} ( n ! ), bn=an+1−anb _{n} = a _{n+1} - a _{n} 으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. b15=4b _{15} = 4 ㄴ. 9<∑k=15bk<10\displaystyle 9 < \sum\limits _{k = 1} ^{5} b _{k} < 10 ㄷ. nn이 짝수일 때 bnb _{n}의 값은 무리수이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

bn=an+1−an=log⁡2(n+1)!n!=log⁡2(n+1)\displaystyle b _{n} = a _{n + 1} - a _{n} = \log _{2} \frac{( n + 1 ) !}{n !} = \log _{2} ( n + 1 ) ㄱ. b15=log⁡2(1+15)=log⁡216=4b _{15} = \log _{2} {( 1 + 15 ) = \log _{2} {16} = 4} (참) ㄴ. ∑k=15bk=log⁡22+log⁡23+log⁡24+log⁡25+log⁡26\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} b _{k} = \log _{2} 2 + \log _{2} 3 + \log _{2} 4 + \log _{2} 5 + \log _{2} 6 =log⁡2720\log _{2} 720 log⁡229<log⁡2720<log⁡2210\log _{2} 2 ^{9} < \log _{2} 720 < \log _{2} 2 ^{10} (참) ㄷ. nn이 짝수이면 n+1n + 1은 홀수, ∴\therefore bn=log⁡2(n+1)b _{n} = \log _{2} ( n + 1 )은 무리수 (참)

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