lnx/x 성질

$\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x} \ln x$에서 $\displaystyle f' ( x ) = - \frac{1}{x ^{2}} \ln x + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{1}{x ^{2}} ( 1 - \ln x )$ $f'' ( x )$$\displaystyle = - \frac{2}{x ^{3}} ( 1 - \ln x ) - \frac{1}{x ^{3}} = - \frac{1}{x ^{3}} ( 3 - 2 \ln x )$

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{1}{x} \ln x$$= - \infty$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty}$$f ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} \ln x$$= 0$ 이므로 $y = f ( x )$의 개형은 다음 그림과 같다.

ㄱ. $y = f ( x )$는 $x = e$일 때, 최댓값 $f ( e ) =$$\displaystyle \frac{1}{e}$를 갖는다. (참) ㄴ. $x > e$일 때, $f ( x )$는 감소함수이므로 $\displaystyle \frac{1}{2011} \ln 2011 > \frac{1}{2012} \ln 2012$ 위 부등식을 변형하면 $2012 \cdot \ln 2011 > 2011 \cdot \ln 2012$에서 $\ln 2011 ^{2012} > \ln 2012 ^{2011}$ ∴ $2011 ^{2012} > 2012 ^{2011}$ (참) ㄷ. 열린구간 $( 0 , e )$에서 $f'' ( x ) < 0$이므로 $y = f ( x )$의 그래프는 위로 볼록하다. (참)