미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

(ln x)^n 넓이 보기

문제

22이상의 자연수 nn에 대하여 곡선 y=(ln⁡x)n(x≥1)y = ( \ln x ) ^{n} ( x \geq 1 )과 xx축, yy축 및 y=1y = 1로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sn{\mathrm{S}} _{n}이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

[보 기] ㄱ. 1≤x≤e1 \leq x \leq e일 때, (ln⁡x)n≥(ln⁡x)n+1( \ln x ) ^{n} \geq ( \ln x ) ^{n+1}이다. ㄴ. Sn<Sn+1{\mathrm{S}} _{n} < {\mathrm{S}} _{n+1} ㄷ. 함수 f(x)=(ln⁡x)n(x≥1)f ( x ) = ( \ln x ) ^{n} ( x \geq 1 )의 역함수를 g(x)g ( x )라 하면 Sn=∫01g(x)dx\displaystyle {\mathrm{S}} _{n} = \int _{0} ^{1} {g ( x )} dx이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ,ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. 1≤x≤e1 \leq x \leq e의 범위에서 0≤ln⁡x≤10 \leq \ln x \leq 1 (ln⁡x)n−(ln⁡x)n+1=(ln⁡x)n(1−ln⁡x)≥0( \ln x ) ^{n} - ( \ln x ) ^{n + 1} = ( \ln x ) ^{n} ( 1 - \ln x ) \geq 0 (ln⁡x)n≥(ln⁡x)n+1( \ln x ) ^{n} \geq ( \ln x ) ^{n + 1}(참) ㄴ.1<x<e1 < x < e에서 (ln⁡x)n>(ln⁡x)n+1( \ln x ) ^{n} > ( \ln x ) ^{n + 1}이므로 ∫1e(ln⁡x)ndx>∫1e(ln⁡x)n+1dx\displaystyle \int _{1} ^{e} {( \ln x ) ^{n} dx} > \int _{1} ^{e} {( \ln x ) ^{n + 1} dx} −∫1e(ln⁡x)ndx<−∫1e(ln⁡x)n+1dx\displaystyle - \int _{1} ^{e} {( \ln x ) ^{n} dx} < - \int _{1} ^{e} {( \ln x ) ^{n + 1} dx} e−∫1e(ln⁡x)ndx<e−∫1e(ln⁡x)n+1dx\displaystyle e - \int _{1} ^{e} {( \ln x ) ^{n} dx} < e - \int _{1} ^{e} {( \ln x ) ^{n + 1} dx} ∴Sn<Sn+1\therefore S _{n} < S _{n + 1} ㄷ. 주어진 그래프를 y=xy = x에 대하여 대칭시키면

Sn=∫01g(x)dx\displaystyle S _{n} = \int _{0} ^{1} {g ( x ) dx}(참)

태그

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