ln x 270° 회전체

주어진 조건의 영역을 $x$축의 둘레로 $360 ^\circ$만큼 회전하여 생긴 회전체의 부피를 구하면 $\displaystyle \begin{aligned} V _{x} & = \pi \int _{1} ^{e ^{2}} {} y ^{2} dx = \pi \int _{1} ^{e ^{2}} {} \ln ^{2} x dx \end{aligned}$ $\displaystyle = \pi \left\{ \left[ x \ln ^{2} x \right] _{1} ^{e ^{2}} - \int _{1} ^{e ^{2}} {} x ( 2 \ln x \times \frac{1}{x} ) dx \right\}$ $\displaystyle = \pi \left\{ 4 e ^{2} - 2 \int _{1} ^{e ^{2}} {} \ln x dx \right\}$ $\displaystyle = \pi \left\{ 4 e ^{2} - 2 \left( \left[ x \ln x \right] _{1} ^{e ^{2}} - \int _{1} ^{e ^{2}} {} x \times \frac{1}{x} dx \right) \right\}$ $= \pi \left\{ 4 e ^{2} - 2 \left( 2 e ^{2} - ( e ^{2} - 1 ) \right) \right\}$ $= 2 ( e ^{2} - 1 ) \pi$ $\therefore$구하는 부피는 $\displaystyle V = \frac{3}{4} V _{x} = \frac{3}{2} ( e ^{2} - 1 ) \pi$