공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

켤레인 두 허근의 관계식으로 계수 구하기

문제

실수 aa, bb에 대하여 이차방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0이 서로 다른 두 허근 α\alpha, β\beta를 갖는다. α2+β=−2\alpha ^{2} + \beta = - 2일 때, a+ba + b의 값은? [4점] ①−2- 2②−1- 1③11④22⑤33

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④

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해설

계수가 실수이므로 두 허근은 서로 켤레복소수이다. 즉 β=α‾\displaystyle \beta = \overline{\alpha}, α=β‾\displaystyle \alpha = \overline{\beta} α2+β=−2\alpha ^{2} + \beta = - 2의 양변의 켤레복소수를 잡으면 α‾2+β‾=−2\displaystyle \overline{\alpha} ^{2} + \overline{\beta} = - 2, 즉 β2+α=−2\beta ^{2} + \alpha = - 2 두 식을 변끼리 빼면 α2−β2−(α−β)=0\alpha ^{2} - \beta ^{2} - ( \alpha - \beta ) = 0 (α−β)(α+β−1)=0( \alpha - \beta ) ( \alpha + \beta - 1 ) = 0 α≠β\alpha \ne \beta이므로 α+β=1\alpha + \beta = 1 두 식을 변끼리 더하면 α2+β2+(α+β)=−4\alpha ^{2} + \beta ^{2} + ( \alpha + \beta ) = - 4 (α+β)2−2αβ+(α+β)=−4( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta + ( \alpha + \beta ) = - 4에서 1−2αβ+1=−41 - 2 \alpha \beta + 1 = - 4이므로 αβ=3\alpha \beta = 3 근과 계수의 관계에 의하여 a=−(α+β)=−1a = - ( \alpha + \beta ) = - 1, b=αβ=3b = \alpha \beta = 3 이때 x2−x+3=0x ^{2} - x + 3 = 0의 판별식은 1−12<01 - 12 < 0이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서 a+b=−1+3=2a + b = - 1 + 3 = 2 답 ④

태그

#켤레근#실수 계수#허근#근과 계수의 관계

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