공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

켤레복소수와 최솟값

문제

두 실수 aa, bb에 대하여 복소수 z=a+2biz = a + 2 bi가 z2+(z‾)2=0\displaystyle z ^{2} + \left( {\overline{z}} \right) ^{2} = 0을 만족시킬 때, 6a+12b2+116 a + 12 b ^{2} + 11의 최솟값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle {\overline{z}}는 zz의 켤레복소수이다.) [4점] ①66②77③88④99⑤1010

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③

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해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 이차함수의 최대, 최소 이해하기 z2=(a+2bi)2z ^{2} = \left( a + 2 bi \right) ^{2}=(a2−4b2)+4abi= \left( a ^{2} - 4 b ^{2} \right) + 4 ab i (z‾)2=(a−2bi)2=(a2−4b2)−4abi\displaystyle \left( {\overline{z}} \right) ^{2} = \left( a - 2 bi \right) ^{2} = \left( a ^{2} - 4 b ^{2} \right) - 4 abi 이다. z2+(z‾)2=2(a2−4b2)=0\displaystyle z ^{2} + \left( {\overline{z}} \right) ^{2} = 2 \left( a ^{2} - 4 b ^{2} \right) = 0이므로 a2=4b2a ^{2} = 4 b ^{2}이다. 6a+12b2+116 a + 12 b ^{2} + 11=3a2+6a+11= 3 a ^{2} + 6 a + 11=3(a+1)2+8= 3 \left( a + 1 \right) ^{2} + 8 이므로 a=−1a = - 1일 때, 6a+12b2+116 a + 12 b ^{2} + 11의 최솟값은 88이다.

태그

#복소수#이차식 최솟값

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