공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

켤레복소수의 성질

문제

두 복소수 α\alpha , β\beta가 αα‾=ββ‾=3\displaystyle \alpha \overline{\alpha} = \beta \overline{\beta} = 3, (α+β)(α+β‾)=3\displaystyle ( \alpha + \beta ) ( \overline{\alpha + \beta} ) = 3 을 만족할 때, (α+β)(1α+1β)\displaystyle ( \alpha + \beta ) \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right)의 값은? (단, α‾\displaystyle \overline{\alpha}, β‾\displaystyle \overline{\beta}는 각각 α\alpha, β\beta의 켤레복소수이다.) [4점] ①19\displaystyle \frac{1}{9}②13\displaystyle \frac{1}{3}③11④33⑤99

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③

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해설

[출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기 αα‾=ββ‾=3\displaystyle \alpha \overline{\alpha} = \beta \overline{\beta} = 3에서 1α=13α‾\displaystyle \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{3} \overline{\alpha}, 1β=13β‾\displaystyle \frac{1}{\beta} = \frac{1}{3} \overline{\beta}이므로 (α+β)(1α+1β)=(α+β)(13α‾+13β‾)=13(α+β)(α‾+β‾)=13(α+β)(α+β‾)=13×3=1\displaystyle \begin{aligned} ( \alpha + \beta ) \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = ( \alpha + \beta ) \left( \frac{1}{3} \overline{\alpha} + \frac{1}{3} \overline{\beta} \right) \\ = \frac{1}{3} ( \alpha + \beta ) \left( \overline{\alpha} + \overline{\beta} \right) \\ = \frac{1}{3} ( \alpha + \beta ) \left( \overline{\alpha + \beta} \right) \\ = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \end{aligned}

태그

#켤레복소수

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