공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

켤레복소수 계산

문제

실수부분이 1\mathrm{1}인 복소수 zz에 대하여 z2+i+z‾2−i=2\displaystyle \frac{z}{2 + i} + \frac{{\overline{z}}}{2 - i} = 2일 때, zz‾\displaystyle z {\overline{z}}의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이다.) [3점] ①2\mathrm{2}②4\mathrm{4}③6\mathrm{6}④8\mathrm{8}⑤10\mathrm{10}

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⑤

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해설

[출제의도] 복소수의 뜻과 연산 이해하기 복소수 zz의 실수부분이 1\mathrm{1}이므로 z=1+ai(az = 1 + ai \left( a \right.는 실수))라 하자. z2+i+z‾2−i\displaystyle \frac{z}{2 + i} + \frac{\overline{z}}{2 - i}=1+ai2+i+1−ai2−i\displaystyle = \frac{1 + ai}{2 + i} + \frac{1 - ai}{2 - i} =(1+ai)(2−i)+(1−ai)(2+i)(2+i)(2−i)\displaystyle = \frac{\left( 1 + ai \right) \left( 2 - i \right) + \left( 1 - ai \right) \left( 2 + i \right)}{\left( 2 + i \right) \left( 2 - i \right)} =2a+45=2\displaystyle = \frac{2 a + 4}{5} = 2 에서 a=3a = 3 따라서 zz‾=(1+3i)(1−3i)=12+32=10\displaystyle z {\overline{z}} = \left( 1 + 3 i \right) \left( 1 - 3 i \right) = 1 ^{2} + 3 ^{2} = 10

태그

#켤레복소수#복소수 연산

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