공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

켤레복소수 등식

문제

복소수 zz에 대하여 등식 (2+i)z+3iz‾=2+6i\displaystyle ( 2 + i ) z + 3 i \overline{z} = 2 + 6 i가 성립할 때, zz‾\displaystyle z \overline{z}의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이다.) [3점] ①22②55③88④1010⑤1313

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②

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해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 상수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. z=a+biz = a + b i(단, a,ba , b는 실수)라 하자. 그러면 켤레복소수 z‾\displaystyle \overline{z}는 z‾=a+bi‾=a−bi\displaystyle \overline{z} = \overline{a + b i} = a - b i 주어진 식에 대입하면 (2+i)(a+bi)+3i(a−bi)=2+6i( 2 + i ) ( a + b i ) + 3 i ( a - b i ) = 2 + 6 i 실수부와 허수부로 나누어 정리하면 (2a+2b)+i(4a+2b)=2+6i( 2 a + 2 b ) + i ( 4 a + 2 b ) = 2 + 6 i 복소수가 서로 같을 조건에 의해 2a+2b=22 a + 2 b = 2…㉠ 4a+2b=64 a + 2 b = 6…㉡ ㉠−-㉡을 하면 −2a=−4- 2 a = - 4 ∴ a=2a = 2 a=2a = 2를 ㉠에 대입하면 4+2b=24 + 2 b = 2 ∴ b=−1b = - 1 그러므로 구하는 복소수 zz는 z=2−iz = 2 - i이다. ∴ zz‾=(2−i)(2+i)=4+1=5\displaystyle z \overline{z} = ( 2 - i ) ( 2 + i ) = 4 + 1 = 5

태그

#켤레복소수#복소수 상등

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