켤레복소수 등식

$z = a + bi \left( a , b \right.$는 실수$\left. \right)$라 하자. $z$는 실수가 아니므로 $b \neq 0$ $\displaystyle z - 3 {\overline{z}} = z ^{2}$에서 $\left( a + b i \right) - 3 \left( a - b i \right) = \left( a + b i \right) ^{2}$ $- 2 a + 4 b i = \left( a ^{2} - b ^{2} \right) + 2 a b i$ 이므로 $- 2 a = a ^{2} - b ^{2}$, $4 b = 2 a b$ $b \neq 0$에서 $a = 2$이고 $b ^{2} = 8$ 따라서 $\displaystyle z \overline{z} = \left( a + b i \right) \left( a - b i \right) = a ^{2} + b ^{2} = 2 ^{2} + 8 = 12$