공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

켤레복소수 등식

문제

복소수 zz에 대하여 등식 3z−2z‾=5+10i\displaystyle 3 z - 2 {\overline{z}} = 5 + 10 i가 성립할 때, zz‾\displaystyle z \overline{z}의 값을 구하시오. (단, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이고, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이다.) [3점]

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29

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해설

복소수 zz를 z=a+bi(a,bz = a + bi \left( a , b \right.는 실수))라 하면 3z−2z‾=3(a+bi)−2(a−bi)=a+5bi\displaystyle 3 z - 2 {\overline{z}} = 3 \left( a + bi \right) - 2 \left( a - bi \right) = a + 5 bi이다. a+5bi=5+10ia + 5 b i = 5 + 10 i에서 a=5a = 5, b=2b = 2이므로 z=5+2iz = 5 + 2 i, z‾=5−2i\displaystyle \overline{z} = 5 - 2 i 이다. 따라서 zz‾=(5+2i)(5−2i)=52+22=29\displaystyle z {\overline{z}} = \left( 5 + 2 i \right) \left( 5 - 2 i \right) = 5 ^{2} + 2 ^{2} = 29이다.

태그

#켤레복소수#복소수의 상등

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