켤레복소수 보기

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기 ㄱ. $\displaystyle z _{1} {\overline{z _{1}}}$$= \left( a + bi \right) \left( a - bi \right)$$= a ^{2} + b ^{2} = 10$ (참) ㄴ. $a ^{2} + b ^{2} = 10$에서 $a = 1$이면 $b = 3$이다. $a = 2$이면 $b ^{2} = 6$인 자연수 $b$는 존재하지 않는다. $a = 3$이면 $b = 1$이다. $a \geq 4$이면 $a ^{2} \geq 16$이므로 자연수 $b$는 존재하지 않는다. $\displaystyle z _{1} + \overline{z _{2}}$$= \left( a + bi \right) + \left( c - di \right)$$= \left( a + c \right) + \left( b - d \right) i$$= 3$ 이므로 $a + c = 3$, $b - d = 0$ $a + c = 3$에서 $a < 3$ $a = 1 , c = 2 , b = d = 3$이 되어 $c + d = 5$ (참) ㄷ. $\displaystyle \left( z _{1} + z _{2} \right) \left( {\overline{z _{1} + z _{2}}} \right)$ $= \left\{ \left( a + c \right) + \left( b + d \right) i \right\} \left\{ \left( a + c \right) - \left( b + d \right) i \right\}$ $= \left( a + c \right) ^{2} + \left( b + d \right) ^{2}$$= 41$ $a + c = 2$이면 $\left( b + d \right) ^{2} = 37$인 자연수 $b + d$는 존재하지 않는다. $a + c = 3$이면 $\left( b + d \right) ^{2} = 32$인 자연수 $b + d$는 존재하지 않는다. $a + c = 4$이면 $b + d = 5$이다. $a + c = 5$이면 $b + d = 4$이다. $a + c = 6$이면 $\left( b + d \right) ^{2} = 5$인 자연수 $b + d$는 존재하지 않는다. $a + c \geq 7$이면 $\left( a + c \right) ^{2} \geq 49$이므로 자연수 $b + d$는 존재하지 않는다. (ⅰ) $a + c = 4$일 때 $a = 1$이면 $c = 3$이고 $b = 3$에서 $d = 2$이다. $a = 3$이면 $c = 1$이고 $b = 1$에서 $d = 4$이다. (ⅱ) $a + c = 5$일 때 $a = 1$이면 $c = 4$이고 $b = 3$에서 $d = 1$이다. $a = 3$이면 $c = 2$이고 $b = 1$에서 $d = 3$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle z _{2} {\overline{z _{2}}} = c ^{2} + d ^{2}$의 값은 $13$ 또는 $17$이므로 $\displaystyle z _{2} {\overline{z _{2}}}$의 최댓값은 $17$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ