공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

복소수 z=a+biz = a + bi(aa, bb는 00이 아닌 실수)에 대하여 iz=z‾\displaystyle iz = {\overline{z}} 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. z+z‾=−2b\displaystyle z + {\overline{z}} = - 2 b ㄴ. iz‾=−z\displaystyle i {\overline{z}} = - z ㄷ. z‾z+zz‾=0\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z} + \frac{z}{{\overline{z}}} = 0

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 복소수의 성질 추론하기 z=a+biz = a + bi에 대하여 iz=i(a+bi)=−b+aiiz = i ( a + bi ) = - b + ai, z‾=a−bi\displaystyle \overline{z} = a - bi인데 iz=z‾\displaystyle iz = \overline{z}이므로 a=−ba = - b이다. 따라서 z=a−aiz = a - ai 이다. ㄱ. z+z‾=(a−ai)+(a+ai)=2a=−2b\displaystyle z + {\overline{z}} = ( a - ai ) + ( a + ai ) = 2 a = - 2 b이다. (참) ㄴ. iz=z‾\displaystyle iz = {\overline{z}}의 양변에 ii를 곱하면 iz‾=−z\displaystyle i {\overline{z}} = - z이다. (참) ㄷ. iz=z‾\displaystyle iz = \overline{z}이므로 z‾z=i\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z} = i이고 iz‾=−z\displaystyle i {\overline{z}} = - z이므로 zz‾=−i\displaystyle \frac{z}{{\overline{z}}} = - i이다. 따라서 z‾z+zz‾=0\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z} + \frac{z}{{\overline{z}}} = 0이다. (참) 그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다. [다른 풀이 1] ㄴ. iz‾=i(a+ai)=ai−a=−(a−ai)=−z\displaystyle i \overline{z} = i ( a + ai ) = ai - a = - ( a - ai ) = - z ㄷ. z‾z+zz‾=a+aia−ai+a−aia+ai=(a+ai)2+(a−ai)2(a−ai)(a+ai)=0\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z} + \frac{z}{{\overline{z}}} = \frac{a + ai}{a - ai} + \frac{a - ai}{a + ai} = \frac{( a + ai ) ^{2} + ( a - ai ) ^{2}}{( a - ai ) ( a + ai )} = 0 [다른 풀이 2] ㄷ. iz=z‾\displaystyle iz = {\overline{z}}의 양변을 제곱하면 z2+(z‾)2=0\displaystyle z ^{2} + \left( \overline{z} \right) ^{2} = 0이고 zz‾=2a2≠0\displaystyle z {\overline{z}} = 2 a ^{2} \ne 0이므로 z‾z+zz‾=z2+(z‾)2zz‾=0\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z} + \frac{z}{{\overline{z}}} = \frac{z ^{2} + \left( \overline{z} \right) ^{2}}{z \overline{z}} = 0이다.

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