켤레복소수 방정식

$z = a + bi$ ($a$, $b$는 실수)라 하자. $z$는 실수가 아니므로 $b \neq 0$ $\displaystyle z ^{2} + 4 {\overline{z}} = 0$에서 $\left( a + bi \right) ^{2} + 4 \left( a - bi \right) = \left( a ^{2} - b ^{2} + 4 a \right) + \left( 2 ab - 4 b \right) i = 0$ 이므로 $a ^{2} - b ^{2} + 4 a = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $2 ab - 4 b = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡에서 $b \neq 0$이므로 $a = 2$ 이를 ㉠에 대입하면 $4 - b ^{2} + 8 = 0$이므로 $b ^{2} = 12$ 따라서 $\displaystyle z {\overline{z}} = \left( a + bi \right) \times \left( a - bi \right) = a ^{2} + b ^{2} = 16$