코시-슈바르츠 최솟값

실수 $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$에 대하여 부등식 $\left( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \right) \left( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \right) \geq \left( ax + by + cz \right) ^{2}$은 항상 성립하고 등호는 $a : b : c = x : y : z$일 때 성립한다. 다음은 이 부등식을 이용하여 삼각형의 세 변의 길이 $p$, $q$, $r$에 대하여 $\displaystyle ( p + q + r ) \left( \frac{1}{- p + q + r} + \frac{1}{p - q + r} + \frac{1}{p + q - r} \right)$의 최솟값을 구하는 과정이다.

$- p + q + r = l$, $p - q + r = m$, $p + q - r = n$이라 하면 $l$, $m$, $n$은 모두 양수이다. $\displaystyle ( p + q + r ) \left( \frac{1}{- p + q + r} + \frac{1}{p - q + r} + \frac{1}{p + q - r} \right)$ $=$$\displaystyle {\square {( \text{가} )}} \left( \frac{1}{l} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)$ $\left( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \right) \left( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \right) \geq \left( ax + by + cz \right) ^{2}$을 이용하면 $\displaystyle {\square {( \text{가} )}} \left( \frac{1}{l} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right) \geq {\square {( \text{나} )}}$ 이고 등호는 $l = m = n$일 때 성립한다. 따라서 $\displaystyle ( p + q + r ) \left( \frac{1}{- p + q + r} + \frac{1}{p - q + r} + \frac{1}{p + q - r} \right)$의 최솟값은 (나) 이다.

(가), (나)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]