코사인 절댓값 실근

$\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - \left( 2 ^{5} + 2 ^{4} \right) f \left( x \right) + 2 ^{9}$$= \left( f \left( x \right) - 2 ^{5} \right) \left( f \left( x \right) - 2 ^{4} \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = 2 ^{5}$, $f \left( x \right) = 2 ^{4}$이다. 방정식 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - \left( 2 ^{5} + 2 ^{4} \right) f \left( x \right) + 2 ^{9} = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 두 직선 $y = 2 ^{4}$, $y = 2 ^{5}$과 각각 만나는 점의 개수의 합과 같다. (ⅰ) $m < n$일 때

(ⅱ) $m = n$일 때

(ⅰ)과 (ⅱ)에서 실근의 개수가 최대 $4$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $m > n$일 때

서로 다른 실근의 개수가 $6$이 되려면 $16 \leq 2 ^{m} - 2 ^{n} < 32$, $2 ^{m} + 2 ^{n} > 32$이므로 $2 ^{n} + 16 \leq 2 ^{m} < 2 ^{n} + 32$이고 $2 ^{m} > 32 - 2 ^{n}$이다. ① $n = 1$이면 $30 < 2 ^{m} < 34$이므로 $m = 5$이다. ② $n = 2$이면 $28 < 2 ^{m} < 36$이므로 $m = 5$이다. ③ $n = 3$이면 $24 < 2 ^{m} < 40$이므로 $m = 5$이다. ④ $n = 4$이면 $32 \leq 2 ^{m} < 48$이므로 $m = 5$이다. ⑤ $n = 5$이면 $48 \leq 2 ^{m} < 64$이므로 부등식을 만족시키는 자연수 $m$은 존재하지 않는다. ⑥ $n = 6$이면 $80 \leq 2 ^{m} < 96$이므로 부등식을 만족시키는 자연수 $m$은 존재하지 않는다. 따라서 $m$, $n$의 모든 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $4$이다.