코사인 절댓값 함수

(ⅰ) $\left( a - 2 \right) \left( b - 2 \right) = 0$일 때, 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \left| 2 a \cos \frac{b}{2} x \right|$의 주기는 $\displaystyle \frac{\pi}{\frac{b}{2}} = \frac{2 \pi}{b}$이므로 조건 (가)에서 $\displaystyle \frac{2 \pi}{b} = \pi$ $\therefore$$b = 2$ $\left| 2 a \cos x \right| = 2 a - 1$에서 $2 a \cos x = 2 a - 1$ 또는 $2 a \cos x = \mathit{-} 2 a + 1$ 이므로 $\displaystyle \cos x = 1 - \frac{1}{2 a}$ 또는 $\displaystyle \cos x = \mathit{-} 1 + \frac{1}{2 a}$

자연수 $a$에 대하여 $\displaystyle 0 < 1 - \frac{1}{2 a} < 1$, $\displaystyle - 1 < - 1 + \frac{1}{2 a} < 0$이므로 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 $\displaystyle \cos x = 1 - \frac{1}{2 a}$와 $\displaystyle \cos x = \mathit{-} 1 + \frac{1}{2 a}$은 각각 $2$개의 근을 가지므로 $10$ 이하의 자연수 $a$에 대하여 항상 $4$개의 실근을 갖는다. 따라서 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $10$이다. (ⅱ) $\left( a - 2 \right) \left( b - 2 \right) \neq 0$일 때, 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \left| 2 a \cos \frac{b}{2} x - \left( a - 2 \right) \left( b - 2 \right) \right|$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{b}{2}} = \pi$에서 $b = 4$ $f \left( x \right) = \left| 2 a \cos 2 x - 2 \left( a - 2 \right) \right|$이므로 $\left| 2 a \cos 2 x - 2 \left( a - 2 \right) \right| = 2 a - 1$에서 $2 a \cos 2 x - 2 a + 4 = \mathit{-} 2 a + 1$ 또는 $2 a \cos 2 x - 2 a + 4 = 2 a - 1$ $\therefore$$2 a \cos 2 x = \mathit{-} 3$ 또는 $2 a \cos 2 x = 4 a - 5$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠에서 (1) $a = 1$일 때, $\displaystyle \cos 2 x = \mathit{-} \frac{3}{2}$ 또는 $\displaystyle \cos 2 x = \mathit{-} \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos 2 x = \mathit{-} \frac{3}{2}$을 만족하는 $x$의 값은 존재하지 않고, $\displaystyle \cos 2 x = \mathit{-} \frac{1}{2}$을 만족하는 $x$의 값은 $4$개 존재하므로 조건을 만족한다. (2) $a \geq 3$일 때, $\displaystyle \cos 2 x = \mathit{-} \frac{3}{2 a}$ 또는 $\displaystyle \cos 2 x = \frac{4 a - 5}{2 a}$

$4 a - 5 > 2 a$에서 $\displaystyle \frac{4 a - 5}{2 a} > 1$이므로 $\displaystyle \cos 2 x = \frac{4 a - 5}{2 a}$를 만족하는 $x$의 값은 존재하지 않는다. $2 a > 3$에서 $\displaystyle - 1 < - \frac{3}{2 a} < 0$이므로 $\displaystyle \cos 2 x = \mathit{-} \frac{3}{2 a}$를 만족하는 $x$의 값은 $4$개 존재한다. 모두 $4$개의 실근을 가지므로 조건을 만족한다. 따라서 $b = 4$이고 $a = 1$, $3$, $4$, $5$, $\cdots$, $10$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $9$개다. (ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $10 + 9 = 19$개다.