대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

코사인 곡선 선분

문제

그림과 같이 곡선 y=cos⁡x(0≤x≤2π)y = \cos x ( 0 \leq x \leq 2 \pi ) 위의 두 점 P(θ,cos⁡θ)\mathrm{P} \mathit{(} \theta , \cos \theta ),Q(θ+π2,cos⁡(θ+π2))\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \theta + \frac{\pi}{2} , \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \right)}에 대하여 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 ll이라고 할 때, l2l ^{2}의 최대값과 최소값의 차를 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 반각의 공식을 활용하여 문제 해결하기 l2=(π2)2+{cos⁡(θ+π2)−cos⁡θ}2\displaystyle \begin{aligned} l ^{2} = & \left( \frac{\pi}{2} \right) ^{2} + \left\{ \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) - \cos \theta \right\} ^{2} \end{aligned} =π24+(sin⁡θ+cos⁡θ)2=π24+1+sin⁡2θ\displaystyle = \frac{\pi ^{2}}{4} + ( \sin \theta + \cos \theta ) ^{2} = \frac{\pi ^{2}}{4} + 1 + \sin 2 \theta 최대값은 sin⁡2θ=1\sin 2 \theta = 1일 때, π24+2\displaystyle \frac{\pi ^{2}}{4} + 2 최소값은 sin⁡2θ=−1\sin 2 \theta = - 1일 때, π24\displaystyle \frac{\pi ^{2}}{4}

태그

#삼각함수#최대최소

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