코사인 등비급수

$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( \cos \theta ) ^{2 n - 1} = \cos \theta + \cos ^{3} \theta + \cos ^{5} \theta + \cdots$ 에서 $0 < \theta < \pi$일 때 $- 1 < \cos \theta < 1$이므로 주어진 식은 첫째항이 $\cos \theta$, 공비가 $\cos ^{2} \theta$인 무한등비급수이다. $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( \cos \theta ) ^{2 n - 1} = \frac{\cos \theta}{1 - \cos ^{2} \theta} = \frac{2}{3}$ 정리하면 $3 \cos \theta = 2 - 2 \cos ^{2} \theta$이므로 $2 \cos ^{2} \theta + 3 \cos \theta - 2 = 0$ $( 2 \cos \theta - 1 ) ( \cos \theta + 2 ) = 0$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{2}$ 또는 $\cos \theta = - 2$ $\therefore$$\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{2} ( \because - 1 < \cos \theta < 1 )$ $\therefore$$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$