코사인 부등식 해 개수

$0 {\leq} x < 2 ^{n+1}$일 때, $\displaystyle 0 {\leq} \frac{\pi}{2 ^{n}} x < 2 \pi$이므로 부등식 $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2 ^{n}} x \right) {\leq} - \frac{1}{2}$의 해는 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi {\leq} \frac{\pi}{2 ^{n}} x {\leq} \frac{4}{3} \pi$, 즉 $\displaystyle \frac{2 ^{n+1}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{n+2}}{3}$ $a _{n}$은 $\displaystyle \frac{2 ^{n+1}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{n+2}}{3}$을 만족시키는 서로 다른 모든 자연수 $x$의 개수이고, $\displaystyle \frac{2 ^{n+2}}{3}$은 자연수가 아니므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} a _{n}$은 $\displaystyle \frac{2 ^{2}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{9}}{3}$인 자연수의 개수와 같다. $\displaystyle \frac{2 ^{2}}{3} = 1.333 \cdots$, $\displaystyle \frac{2 ^{9}}{3} = 170.666 \cdots$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} a _{n} = 170 - 1 = 169$ [참고] $n = 1$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{2}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{3}}{3}$인 자연수 $x$는 $2$이므로 $a _{1} = 1$ $n = 2$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{3}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{4}}{3}$인 자연수 $x$는 $3$, $4$, $5$이므로 $a _{2} = 3$ $n = 3$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{4}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{5}}{3}$인 자연수 $x$는 $6$, $7$, $8$, $9$, $10$이므로 $a _{3} = 5$ $n = 4$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{5}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{6}}{3}$인 자연수 $x$는 $11$, $12$, $13$, $\cdots$, $21$이므로 $a _{4} = 11$ $n = 5$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{6}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{7}}{3}$인 자연수 $x$는 $22$, $23$, $24$, $\cdots$, $42$이므로 $a _{5} = 21$ $n = 6$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{7}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{8}}{3}$인 자연수 $x$는 $43$, $44$, $45$, $\cdots$, $85$이므로 $a _{6} = 43$ $n = 7$일 때, $\displaystyle \frac{2 ^{8}}{3} {\leq} x {\leq} \frac{2 ^{9}}{3}$인 자연수 $x$는 $86$, $87$, $88$, $\cdots$, $170$이므로 $a _{7} = 85$