코사인 방정식 근의 합

함수 $\displaystyle y = \frac{n}{2} \cos \pi x + 1$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\pi} = 2$ 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{n}{2} \cos \pi x + 1 \left( 0 \leq x \leq 4 \right)$는 최댓값 $\displaystyle \frac{n}{2} + 1$, 최솟값 $\displaystyle - \frac{n}{2} + 1$을 갖는다. 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g ( n )$은 함수 $y = | f ( x ) |$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 서로 다른 모든 점의 $x$좌표의 합과 같다. $n \geq 4$일 때, $\displaystyle \frac{n}{2} + 1 \geq 3$ $\displaystyle \frac{n}{2} + 1$은 함수 $\left| f \left( x \right) \right|$의 최댓값이므로 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 서로 다른 모든 점의 $x$좌표의 합은 다음과 같다. (ⅰ) $\displaystyle \frac{n}{2} + 1 = 3 \left( n = 4 \right)$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$이라 하면 $\alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} = 0 + 2 + 4 = 6$ $n = 4$일 때, $g ( 4 ) = 6$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{n}{2} - 1 < 3 < \frac{n}{2} + 1 \left( n = 5 , 6 , 7 \right)$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\alpha _{4}$라 하면 $\alpha _{2} = 2 - \alpha _{1}$, $\alpha _{3} = 2 + \alpha _{1}$, $\alpha _{4} = 4 - \alpha _{1}$이므로 $\alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} + \alpha _{4} = 8$ $n = 5$, $6$, $7$일 때, $g ( n ) = 8$ (ⅲ) $\displaystyle \frac{n}{2} - 1 = 3 \left( n = 8 \right)$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\cdots$, $\alpha _{6}$이라 하면 $\alpha _{2} = 1$, $\alpha _{3} = 2 - \alpha _{1}$, $\alpha _{4} = 2 + \alpha _{1}$, $\alpha _{5} = 3$, $\alpha _{6} = 4 - \alpha _{1}$ 이므로 $\alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} + \alpha _{4} + \alpha _{5} + \alpha _{6} = 12$ $n = 8$일 때, $g ( 8 ) = 12$ (ⅳ) $\displaystyle \frac{n}{2} - 1 > 3 \left( n \geq 9 \right)$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\cdots$, $\alpha _{8}$이라 하면 $\alpha _{3} = 2 - \alpha _{2}$, $\alpha _{4} = 2 - \alpha _{1}$, $\alpha _{5} = 2 + \alpha _{1}$, $\alpha _{6} = 2 + \alpha _{2}$, $\alpha _{7} = 4 - \alpha _{2}$, $\alpha _{8} = 4 - \alpha _{1}$ 이므로 $\alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} + \cdots + \alpha _{8} = 16$ $n \geq 9$일 때, $g ( n ) = 16$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의해 $\displaystyle g \left( n \right) = {\begin{cases} 6 & & \left( n = 4 \right) \\ 8 & & \left( n = 5 , 6 , 7 \right) \\ 12 & & \left( n = 8 \right) \\ 16 & & \left( n \geq 9 \right) \end{cases}}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 4} ^{10} g \left( n \right) = 6 + 8 + 8 + 8 + 12 + 16 + 16 = 74$